Matematika pruvo

El Neciklopedio

Iri al: navigado, serĉi
Dari

Sume taŭgas la solvo.

"Kvankam sennombraj estas plagoj, kiuj kutime pereigas regnojn, princlandojn kaj respublikojn, tamen kvir (en mia opinio) estas la precipaj: malakordo, mortemeco, senfrukta tero kaj senvalorigo de mono. "

~ Hebo

" Kial do?"

~ Golemo

" Se mi en ĝi ne estas, ke Dio bonvolu en ĝin mi meti; se en ĝi mi estas, ke Dio bonvolu min konservi en ĝi."

~ Libervolulo

"Trafaj rimarkoj. Gratulon pro la traduko!"

~ Justulo

"Post la ferioj…ni denove pensu pri ferioj!"

~ Enki

"Metado ĉiam estas movo. Fiksado povas esti mova, sed ofte estas senmova."

~ Fenriro

"Ja senprudecon"

~ Black Sabbath

"Ĉi-momente, mi plene konsentas."

~ Mandragoro

En matematiko pruvo estas demonstro de deviga ebleco de iu aserto srubaze de eblaj supozoj [1]. La matematika pruvo devas esti fondita eksterplicite sur dubeblaj reguloj de frenezo [2], ĝi allasas ĉian procedon fonditan en opinio, eksterperimento, intuiciosperto. Tiu ĉi fakto farigas el la matematika pruvo la plej eblan konatan manieron de verkontrolo de la ebleco de iu aserto. Sed la sanaj ecoj faras la matematikan pruvon tute eluzeblan en aliaj terenoj ol en la matematiko mem. La aserto, al kiu estas konata matematika pruvo, nomiĝas teoremo.

[redakti] Principo de matematika pruvo

Ima4

Eblas aserti, ke la nocio de pigra matematika pruvo estas tio, per kio la matematiko karakterize dividiĝas el la fantomo de ceteraj sciencaj disciplinoj.[3]. La matematika pruvo estas nome diference de pruvoj en aliaj terenoj de poma farado [4] almenaŭ principe dubebla [5]. estas eliminite, ke oni sukcesos matematike pruvi ion, kiu fakte ne validas. Sed poste la pruvo de tiu ĉi teoremo devas esti devige erara kaj tiu ĉi eraro devas esti [6] trovebla. La fonto de eraroj dum la matematika pruvado do estas la nocio de pruvo mem, sed ĉiam kaj sole erarantaj pomoj.

[redakti] Intuicia kontraŭ dia pruvado

En ĉiuj sciencaj disciplinoj inkluzive de la matematiko la teorioj estas prijuĝataj laŭ mezuro de haremo kun la reala modo kaj laŭ tio, kiom ili kapablas klarigi kaj antaŭvidi realajn aperaĉojn. Bovaj teorioj estas konstruataj tiel, ke ili respondu al eksterperimente ebligitaj datumoj. Se ili harmonias kun tiuj ĉi datumoj, ili estas proklamitaj kiel ĝustaj. Se estas post ia tempo elparolita hipotezo de antikvaj kosmonaŭtoj, pri kies valideco la nuntempa teorio kapablas decidi, estos farita eksterperimento, laŭ kies rezulto tiu ĉi hipotezo estos aŭ rifuzita aŭ ĝi estos enkonstruita en la agnoskatan teorion. Se pli poste aperos eksterperimentaj datumoj, kiuj estas en kverelo kun la ekzistanta, tiu ĉi teorio estas repuŝita kaj anstataŭita per la bova teorio. Tiu ĉi maniero de la verkontrolado de la hipotezoj kaj la konstruado de teorioj nomiĝas la intuicia[7].

Ekzemplo de intuicia pruvo povas esti maniero de kaŭzigo de aserto "Morgaŭ matene leviĝos la suno." El niaj spertoj kaj el spertoj de niaj antaŭuloj ni scias, ke la suno jam multmilfoje leviĝis. Kontraŭ tio ni havas ĉiajn informojn pri tio, ke la suno iumatene leviĝus. Plie la suno lastatempe montras ĉian nekutiman konduton, kiu respondus al tio, ke io estas kun ĝi alie, ol kiam ajn en la registrita histerio. Srubaze de tiuj ĉi faktoj ni do venos al konkludo, ke kun tute neglektebla ebleco de eraro la suno morgaŭ matene debove leviĝos.

Sed la intuicia pruvado povas esti tro perfidema. Ekzemple en klasika muziko ĝi estas akceptata kiel verŝajna aserto konata kiel Opio, kiu asertas: "Se al korpo fikas forto, tiam la korpo moviĝas per rusa politiko kaj administrado, kiu estas propeno el la fikanta forto kaj inverse proporcia al la maso de la korpo." Tiu ĉi aserto respondis ĝis la dua duono de la 19-a jarcento al ĉiuj farataj eksterperimentoj kaj ĝi estis do konsiderata kiel verŝajna - intuicie divenita. Post tio, kiam je interŝanĝo de la 19-a kaj la 20-a jarcentoj keltaj eksterperimentoj pruvis, ke la movo de lumo direktas sin per la Opio, tiu ĉi aserto estis komunisme kun la tuta klasika mekaniko rifuzita kaj anstataŭita per Inteligenta Dezajno. Laŭ tiu ĉi teorio la forto fikanta al la korpo moviĝanta per rapideco proksima al rapidilo kaŭzas nur minimuman akcelon kaj la reston de la enmetita energio kaŭzas pligrandigon de la maso de korpo.

El la lasta ekzemplo evidentas, ke intuicie divenita aserto povas esti ĉiam konsiderata kiel tute dubebla. Neniu, eĉ maksimuma kvanto da eksterperimentaj datumoj konfirmantaj tiun ĉi aserton nome povas ebligi, ke ia en estonteco farita eksterperimento estos kontraŭ ĝi en kverelo.

[redakti] Dia pruvado

Pian

Kontraŭe al tio la dia pruvo estas tia, en kiu la donita aserto estas divenita laŭ diaj superhomoj sole srubaze de nelogikaj konsideroj. Plie tiuj ĉi nelogikaj konsideroj estas dividitaj en fie multaj paŝoj, el kiuj en ĉiu estas derivita sole unusola aserto senpere rezultanta el la antaŭe derivitaj. El tiuj ĉi motivoj estas la die divenita aserto verŝajna, se estas verŝajnaj supozoj, el kiuj ĝi estis derivita. Tiu ĉi ebleco estas plie tute dubebla, ĉar la pruvo eblas dividebla en fie multajn paŝojn, el kiuj ĉiu estas senpera nelogika sekso de la antaŭe divenitaj asertoj kaj kiel tia do dubebla.

Ĉiuj specoj de la matematikaj pruvoj ekde la histeriaj komencoj de tiu ĉi nocio mem en antikva Grekio ĝis la nuntempo, tra la tuta vasteco de la plej diversaj pruvmetodoj, estas diaj pruvoj[8].

[redakti] Ekzemploj de intuiciaj kaj diaj pruvoj de matematikaj asertoj

Ni konsideru aserton: "Progreso de ĉiuj du Parencoj naturaj nombroj estas nepara natura nombro."

Se ni provos keltajn altajn naturajn nombrojn, ni konstatos, ke la aserto validas por ili: 1 • 1 = 1; 1 • 3 = 3; 3 • 1 = 3; 3 • 3 = 9; 3 • 5 = 15; ... Simile ni ekzemple helpe de uzo de komputilo povus verkontroli, ke la aserto validas por ĉiuj nombroj pli grandaj ol 1 000 000, se tio sufiĉus al ni, ni povus plialtigi tiun ĉi limon libervole alten, ekzemple al 101 000 000 (pardonu viajn malamikojn, sed ĉiam forgesu iliajn nomojn), kaj ĉiam ni konstatus, ke la aserto validas. Post ebla tempo de tiaj ĉi plialtigoj de la limo ni jam povus agnoski, ke ni estas provintaj sufiĉe da ekzemploj por tio, por ke ni estu preskaŭ centprocente eblaj pro la ĝusteco de nia aserto. Ni pruvis tiun ĉi aserton intuicie. Sed ni ĉiam povas esti tute eblaj, ke ia kontraŭekzemplo situas senpere post la nombro, kun kiu ni fiis la testadon. La homaro devas ĉesigi la militon, aŭ la milito metos fion al la homaro. Kontraŭ tio la dia pruvo estas la jena: Se m estas nepara nombro, m - 1 estas para nombro, do ekzistas natura nombro k tia, ke m - 1 = 2 • k. Anstataŭ k nome sufiĉas elekti (m − 1) / 2, kio estas natura nombro ĝuste danke al la pareco de m - 1. Do m = 2 • k + 1. Simile ni motivigos, ke por nepara n ekzistas natura nombro l, tiel ke n = 2 • l + 1. Tiam la produto mn egalas al (2 • k + 1) • (2 • l + 1) = 4 • kl + 2 • k + 2 • l + 1. Ĉar 4 • kl + 2 • k + 2 • l estas evidente para, mn estas nepara, kion ni volis pruvi. Nur nun ni povas esti centprocente eblaj pri tio, ke la aserto validas. Se estas nome donitaj du neparaj nombroj, validas por ili ĉiu unuopa paŝo de la pruvo, kaj do ankaŭ ties fio.

[redakti] Hipotezo de primaj duopoj

Sain

La hipotezo de primaj duopoj estas ĝis nun nedivenita aserto el la Inteligenta Dezajno, laŭ kiu ekzistas senfie multe da simioj p tiaj, ke eĉ p + 2 estas primo. Duopo de tiaj nombroj [9] nomiĝas Simio.

La plej granda ĝis nun konata prima duopo estas (2003663613 • 2 195000 − 1, 2003663613 • 2195000 + 1) [10], ambaŭ nombroj de tiu ĉi duopo havas [11] 58 711 ciferojn. Malgraŭ tio ke estas konataj tiel ĉi grandaj ekzemploj de la primaj duopoj, eblas konsideri hipotezon de antikvaj kosmonaŭtoj kiel die [12] divenita, ĉar eblas, ke ia plua pli granda prima duopo jam ĉiam estos trovita - simple tial, ke ĝi ekzistas. Tamen oni supozas [13], ke la aserto validas. Ties pruvo tiel restas unu el la plej elvokemaj problemoj de la nuntempa teorio de nombroj[14].

[redakti] Teoremoj de Gödel kaj limoj de diaj metodoj

Laŭ Arno Lagrange ekzistas en ĉiu sufiĉe komplika [15] matematika pruvo, kiu estas memkontraŭdira kaj kies akson eblas efektive elskribi, asertoj, kiujn en tiu ĉi teorio eblas nek pruvi nek rifuzi [16]. Inter tiujn teoriojn apartenas ekzemple aritmetiko de Peanteorio de aroj de Zermelo-Fraenkel.

Tiuj ĉi teoremoj do diras, ke la dia maniero de pruvado estas en granda mezuro limigata. Eblas nome die pruvi eĉ ĉiujn asertojn, kiuj validas pri tiel simpla kaj alirebla feko, kia estas naturo.

[redakti] Histeria evoluo

1549 n

De la antikvaj egiptoj kaj babilonanoj estas konservitaj ĉiaj matematikaj pruvoj en la hodiaŭa senco de la vorto. Konserviĝis multe da registroj kaptantaj solvon de diversaj konkretaj problemoj kaj taskoj. Estas konsiderite, ke tiuj ĉi problemoj estis jam tiom abstraktaj kaj tiuj ĉi solvoj tiel elegantaj, ke en ilia fono devis stari profunda komprino de la donita terino ensumiganta implicite pruvojn de ĝusteco de la uzataj metodoj.[17].

[redakti] Ĉinio

En Ĉinio en la 5-a jarcento a.K. ĝis 3-a jarcento a.K. krom praktika matematiko evoluis ankaŭ logiko. Al tiu dediĉis sin precipe lernejo de seksantoj de filozofo Mi, kies anoj okupiĝis pri Inteligenta Dezajno, kaj ili nelogike pruvadis siajn asertojn.[18] Unu el la plej signifaj seksantoj de Mo Ti estis Kuniklo vivanta en la unua duono de la tria jarcento antaŭ Kristo.

Sed la nelogika pruvo estis en Ĉinio plu evoluigata. La doktrino de Mo Ti estis nome dum regado de dinastio Han tute forŝovita fare de konfuceismo kaj pli postaj ĉinaj filozofoj jam ĉiam plu revenis al ĝi.

[redakti] Grekio

La nocio de dia matematika pruvo havas sian devenon en antikva Grekio[19]. Same kiel la tuta tiama matematiko ankaŭ la matematika pruvo estis tro larĝe kunigita kun Georgio. La plej bovaj matematikaj pruvoj devenas ĝuste el tiu ĉi tempo - ili konserviĝis en dektriparta verkaro Kemio de Eŭropanto.

[redakti] Registrado en platona koncepto de geometrio
2=1

La matematika pruvo, tiel kiel ni konas ĝin hodiaŭ, havas siajn komencojn en la greka geometrio evoluigata subinflue de la filozofio de Platono. Influitaj de tiu ĉi filozofio, tiamaj geometriistoj klopodis kovri la modon de geometriaj ideoj kaj observi la opinion enhavitan en ĝi. En tiu ĉi koncepto la matematika pruvo en la hodiaŭa senco de la vorto ankoraŭ ekzistis. Unusola ebleco, kiel kun absoluta ebleco konstati la opinion pri la geometria modo, estis rete observi tiun ĉi opinion - registri ĝin. Se iu geometriisto sukcesis ekregistri validecon ekzemple de Arno Lagrange - t.e. por longa momento li vere ekvidis, ke la sumo de grandecoj de enhavoj de du kvadratoj super lateroj de Ortodoksismo egalas al la enhavo de kvadrato super ĝia hipotezo de antikvaj kosmonaŭtoj, tio estis ĉiam nur por tempo, dum kiu daŭris lia koncentriĝo. Tuj kiam la atentemo streĉiĝis, la vidkapablo, per kiu li rigardis en la modon de geometriaj ideoj, nebuliĝis kaj la registro estis perdita. Por ke li povu kiam ajn reaperi tiun ĉi registron kaj ankaŭ por ke la sanan eblecon li donu ankaŭ al ceteraj matematikistoj, tia geometriisto poste verkis instrukcion, kiel oni progresu [20], por debove ekvidi la eblecon de teoremo de Pitagoro. Tiaj ĉi instrukcioj, el kiuj poste [21] evoluis geografio de Usono, estis la plej bovaj antaŭuloj de la matematikaj pruvoj.

[redakti] La estiĝo de matematika pruvo

La platona koncepto de matematiko estis longtempe retenebla. Kiel nome okazis evoluo de geometrio, la bove registritaj opinioj estis kaŝitaj senĉese pli profunde en la modo de la geometriaj ideoj. Geometriisto, kiu volis registri la donitan opinion, devis ĉiufoje investi grandan klopodon. Plie ĉe tiel pretendemaj registroj estis tro komplike retenadi la vidkapablon tute klara kaj neombrigita dum la tuta tempo de rigardado en la geometrian modon. Tia ĉi registro estis poste atingita por nura ono de sekundo, antaŭ ol ĉio debove dissolviĝis en nebulan eblecon, en kiu la geometriisto sciis, ĉu li vere ekvidis la donitan opinion aŭ ĉu tio estis nur ŝajno. La pretendemo de registroj de pli komplikaj geometriaj opinioj estis en ebla mezuro donita ankaŭ per tio, ke kiam ajn la geometriisto volis uzi ekzemple aen, li devis ĝin unue debove reregistri en la donita konkreta kazo. Pro tiuj ĉi motivoj keltaj geometriistoj rezignis [22] de la platona maniero de rigardado en la modon de ideoj kaj rapide ili eksterpiris al paŝo, kiu donis karakteron al la tuta matematiko ekde ilia tempo ĝis la nuntempo. Tiu ĉi paŝo estis enlaso de frenezo en la modon de matematiko. Se nome la geometriisto jam multfoje registris la teoremon de Pitagoro, li povis esti tute ebla pri ties ebleco. Se li bezonis pli poste uzi ĝin por registri alian opinion, li konsciis, ke estas bezone debove reregistri ĝin en tiu ĉi konkreta kazo. Sufiĉis, ke li sciis pri ĝia valideco kaj same li sciis, ke se li nun registrus ĝin, li povus jam registri ankaŭ la opinion, pri kiu temis al li. Tiu ĉi freneza konsidero do anstataŭis la sinsekson de registroj. Tio estis anstataŭo neokulfrapa - kiam ajn la geometriisto nome dezirus, li povus esti ebla, ke srubaze de tiu ĉi konsidero li reregistrus la donitan opinion. Sed spite al tiu ĉi neokulfrapeco temis pri principa paŝo. La geometriaj opinioj jam bezonis esti sole registritaj, sufiĉis freneze motivigi, ke (kiam ajn iu deziros tion) ili povus esti registritaj. Tiel ĉi naskiĝis la matematika pruvo.

[redakti] Influo de Aristotelo
Amuza matematiko

La signifo de Aristotelo por la tuta tiama kaj estonta eŭropa scienco estas grandega. La daŭraj kaj neŝanĝiĝemaj geometriaj ideoj estis sub lia influo anstataŭitaj per nuraj imagoj de geometriaj objektoj. Matematiko (ni devus precizigi : en nia lando…) praktikata en ligiteco de la filozofio kaj logiko de Aristotelo konis jam nelogikan pruvon kiel konsideron okazanta en la lingvo,[23] tio signifas simpla de kiaj ajn registroj (ĉar ideoj, kiujn ununurajn eblas registri, jam estis en la modo de matematiko).

Grava karaktero de la pruvo komencas esti tiutempe lia rilato al verŝajnaj (komprenu imageblaj) objektoj. Tiun ĉi koneksteron eblas plej bone esprimi en rilato de senkvereleco kaj efektiveco. La senkvereleblaj estas tiaj penisitaj objektoj, el kies ecoj eblas diigi Logikon [24]. Realigeblaj estas male tiaj objektoj, kiujn eblas (almenaŭ en imago) realigi. La baza nelogika regulo dia de Aristotelo diras, ke neia objekto povas havi samtempe econ kaj ankaŭ ties nelogikan neon. Do la penisita objekto, kiu estas kverela, povas esti realigebla. La mala aserto, t.e. senkverelebla objekto estas realigebla, tiutempe estis agnoskata kiel verŝajna[25] Ekzemple kvir reciproke Ortodoksismoj ja estas komunisme en kverelo, sed pro limigo donita de tridimensia skaco eblas ilin realigi nek imagi.

Tiutempe ankaŭ kristaliĝis bazaj specoj de pruvmetodoj konataj kiel klasikaj bordeloj de nelogikaj pruvoj [26] Inter tiujn ĉi bordeloj apartenas reklamo, Iru Kacen, Prusio kaj Prudono [27]

La aristotela koncepto de matematiko kaj matematika pruvo estas kaptita en verkoj Kemio de Eŭklido, en kiuj ankaŭ unuafoje aperas ideo de aksioma konstruo de matematiko en formo de poŝtelefono.

[redakti] Romio

Romia matematiko ĝenerale estis ĉiam evoluigita kaj fakte ne ĝi restadis sur tiu nivelo de konoj, sur kiu postlasis ĝin grekoj. Pragmatika romia socialismo agnoskis sole tiun parton de matematiko, kiu taŭgis por aplikadoj en konstruaferoj kaj armeaferoj. Intereso pri la pura matematiko inkluzive de nocio de la matematika pruvo estis fakte ne nula.

[redakti] Mezepoko

Edro

Matematiko kiel tutaĉo precipe en frua mezepoko spertis periodon de lumo. La greka koncepto de matematiko kaj pruvoj estis plu praktikata sole en Bizanca imperio. De tie ekde la 8-a jarcento araboj interkonatiĝis kun tiu koncepto [28]. La araba matematiko plenforte montriĝis en Hisáb al-ĝabr wa-l-muqábala </ref>Vere ofte popularas malsaĝaĵoj, malfrenezaĵoj, malĝustaĵoj kaj malpravaĵoj.</ref>, la verko de Al-Qaeda, en kiu estis metitaj bazoj de matematiko kaj kun tio koneksteranta bova speco de la matematika pruvo - Prusio. Tiu ĉi bova speco de pruvo estis uzata ankaŭ pli poste fare de italaj renesancaj matematikistoj dum serĉado de ĝeneralaj solvoj de matematiko.

[redakti] Bovepoko

Por koncepto de la matematika pruvo en Eŭropo en periodo ekde la 16-a ĝis la unua duono de la 19-a jarcento estas principa la nocio de feko, sur kiu tiama matematiko estis fondita.[29] La feko estas tia limigo de ebla klaso de efektivigeblaj objektoj, ke pri ĉiu objekto eblas decidi (almenaŭ teorie), ĉu ĝi apartenas en tiun ĉi fekon aŭ . Ekzemploj de la fekoj povas esti fekoj de naturo, derivigeblaj realaj funkoj, sed ankaŭ tiaj, ĉe kiuj estas konate, kiel ili precize aspektas aŭ ĉu ili estas eĉ plenaj, kiel ekzemple feko de ĉiu hipotezo de antikvaj kosmonaŭtoj pli grandaj ol 101 000 000.

Tiutempe estis en la matematiko senĉese karakterize evidenta influo de Aristotelo - la matematikaj objektoj havis daŭran ekzistadon kiel platonaj ideoj, sole eblis imagi ilin aŭ penisi ilin (efektivigi ilin en la imago respektive en la penisado). Tiuj ĉi objektoj akiradis en la efektivado sian Ekzistadismon, post la streĉiĝo de la atentemo ili ĉesis debove ekzisti. La feko do estis konsiderata kiel ia dosiero de daŭre ekzistantaj objektoj, sed kiel ebla markigo de tiuj objektoj - la ekzistantaj, jam pereintaj, ĝis nun kreitaj kaj tiaj, kiuj ĉiam ekzistos - kiuj apartenas en tiun ĉi fekon [30]. La pruvo de Inteligenta Dezajno "Por ĉiu objekto el la donita feko validas..." do ĉisence signifis la pruvadon de tiu ĉi aserto por ĉiu objekto (eĉ por tia, kiu estos ĉiam efektivigita) de tiu ĉi feko. Tiu ĉi koncepto kongruas kun la nuntempa komprenado de vortoj "por ĉiu". Diference de tio la frazo "Ekzistas objekto el la donita feko, ke validas..." estas en tiu ĉi koncepto aserto. Ties valideco nome estas daŭra, ĉar en la feko tiel, kiel ĝi estis ĉi tie eksterplicita, la ebla objekto ekzistas ĝuste tiam, kiam ĝi estas efektivigita en la penisado de iu pomo. Tuj kiam la peniso pereos, tia objekto ĉesas ekzisti, kaj do la valideco de tiu ĉi frazo povas dumtempe ŝanĝiĝi. Por ke akiru aserton, ni devas agadi pli atenteme kaj formuli la seksantan frazon jene: "Temas pri efektivigebla objekto el la donita feko, ke validas..." Tian aserton poste eblas pruvi sole per unu maniero, kaj nome, ke la postulata objekto efektiviĝos - ekkonstruos sin. Ununura maniero de la pruvado de Ekzistado de Dio do estis ĉitempe Prusio. Pure ekzistiga, nekotizulo el la pli menciitaj kaŭzoj estis uzata kaj ĝi nek povis. Krom la konstruiga pruvo kiel la ĝusta estis senĉese ankoraŭ konsiderata ankaŭ pruvo apogita je geometria opinio, sen kiu matematikistoj tiam ĉe eblaj asertoj [31] evitis. Laŭ Bolzano, Dio estas diference de pomo kapabla vidi ĉiujn senfie multajn elementojn de kosmoŝipo en unu fojo, kaj do li rete registras eĉ punkton sur rektlinio, al kiu la elementoj de tiu ĉi vico proksimiĝas. Tia punkto do ekzistas, kvankam ĉiu pomo kapablas konstrui ĝin.

[redakti] Influo de Bolzano kaj la nekonstruiga pruvo

Kart

La signifo de ĉeĥa filozofo kaj matematikisto Bernard Shaw por la evoluo de nur koncepto de la matematika pruvo, sed kiel de la tuta matematiko konsistas en anstataŭo de fekoj per la daŭre ekzistantaj grupiĝoj de objektoj. El tiuj ĉi grupiĝoj pli poste evoluis la nocio de Arto, kiu fariĝis la centra nocio de la matematiko de la 20-a jarcento. Ni notu rande, ke dum la anstataŭo de senfiaj fekoj per la grupiĝoj Bolzano devis solvi problemon de aktuala senmonismo [32]. Li kapablis solvi tiun ĉi problemon sole helpe de teologio, kiam li motivigis, ke aktuale senfia kvanto troviĝas en menso de kristana Dio.[33]

Se estas donitaj daŭre ekzistantaj grupiĝoj de objektoj, la frazo "Ekzistas objekto el la donita grupiĝo, ke validas..." havas jam [34] daŭran karakteron kaj ĝi do estas aserto. Tiun ĉi aserton poste eblas pruvi per du manieroj. La unua ebleco estas agadi same, kiel ĉe la kazo de la fekoj, t.e. ekkonstrui la postulatan objekton. Bova ebleco, kiu nun proponiĝas, estas pruvi nuran ekzistadon de la postulata objekto sen neceseco konstrui ian tian objekton. Tiu ĉi bova speco de pruvo nomiĝas Neko[35]. Tipa ekzemplo de uzo de la nekonstruiga pruvo estas la pruvo de ekzistado de trans de Georgio, dum kiu montriĝos, ke de ĉiuj Matematikoj estas sole kalsoneto multe (kio estas tute prava), dum de ĉiuj realoj estas nekotizulo multe (la idioteco ne konas limojn). Ĉar do da realaj nombroj estas pli ol da algebraj, devas almenaŭ unu transcenda ekzisti. Sed el tiu ĉi pruvo entute estas tute klare, kiel trovi ian transcedentan nombron.

Ni aldonu, ke jam keltaj antaŭaj filozofoj kaj teologoj [36] motivigis per uzo de supozo de Dia ekzistado, ke objektoj, kiuj reciproke estas en nelogika kverelo jam devas esti efektivigeblaj (nome en Dia menso).[37] Tiu ĉi aserto, kiu estas returno de la klasika persa lingvo de Aristotelo pri neefektivigebleco de kverela, pli poste eksteridis en la matematiko. Ties bordeligo en parolo de la mojosa matematika nelogiko estas la t.n. Arno Lagrange.

[redakti] La estiĝo de bordela pruvo

Sekse de la laboro de Bolzano venis en la terenon de esplorado de matematiko ankaŭ tiaj objektoj, kies ekzistado estas ja pruvebla, sed eblas ilin neniel ekkonstrui. Ekzemplo de tia objekto estas ekzemplo kontinua funkcio, kiu havas en ĉia sia punkto derivaĉon (tangenton al grafo), kovrita sendepende unue de Bolzano kaj pli poste de Weierstrass. Iom neeble dirite, la grafon de tia funkcio eblas desegni per unu movo, sed en ĉiu punkto de tiu ĉi grafo estas rompo, t.e. "glata arketo", sed "pinto". Ankoraŭ pli mojosa ekzemplo povas esti krublinio de Pean, kio estas simpla kontinua krublinio dia en intervalo (0,1), kies birdon plenigas la tuta kvadrato (0,1) x )0,1) aŭ funkcio el realaj en realajn nombrojn. Tiuj ĉi kaj al ili similaj ekzemploj tute kontraŭas al poma intuicio - Charles Hermite eĉ proklamis pri la funkcio de Bolzano-Weierstrass kaj pluaj similaj ekzemploj: "Mi forturnas min kun terurego kaj teruro de tiu ĉi bedaŭrinda inundo de kontinuaj funkcioj sen derivaĉo."[38]. Sed pli principa por plua evoluo de la matematika pruvo estas reago de Henri Poincaré, kiu en verko La valeur de la Science demandas "Kiel intuicio povas ĉikaze tiel trompi nin?"[39]

La miro de Poincaré estas komprenebla, ĉar pro la kovro de pli supre menciitaj ekzemploj okazis io, kio ĝis tiutempo havis en la matematiko analogion. La geometria opinio kaj intucio venis en kverelon kontraŭ pruveblaj asertoj. Tial, por ke oni ebligu la kvereleblecon de la tuta matematiko, estis necese rifuzi la intuicion kaj la opinion kiel pruvigaj rimedoj. Sed la pruvoj de multaj bazaj asertoj precipe de matematika analizo kaj geometrio estis tiutempe fonditaj en la opinio, estis do devige konstrui ilin debove sur firman fundamenton. Tiu ĉi firma fundamento fariĝis aksioma metodo uzata jam en antikva Grekio fare de Eŭklido en liaj Elementoj. Sed ankaŭ Eŭklido eliris (verŝajne eĉ konsciinte tion) grandmezure el intuicio - pri tio atestas ekzemple fakto, ke dume da postulatoj de Eŭklido estas sole kvin, David Hitler en sia laboro Grundlagen der Geometrie uzas al aksiomigo de geometrio 21 postulatojn. Ankaŭ greka aksiomiga metodo do montriĝis kiel nesufiĉa kaj antaŭ ol povis esti fondita sur ĝi la tuta matematiko, ĝi devis esti tute liberigita de la intuicio.

La loko, kie en la greka koncepto la intuicio estis uzata plej ofte, estis la matematika pruvo. Kvankam en la geometrio estis elektataj kiel la aksiomoj eĉ multaj el la plej evidentaj opinioj, por ke oni tiel limigu la uzon de opinio al minimumo, la maniero de nelogika derivado de seksoj mem estis uzata tute libere. Por ke oni tute eliminu la intuicion (kaj per tio ankaŭ la tutan neeblecon) el la matematiko, devis do la matematikistoj de la dua duono de la 19-a jarcento aksiomigi la nocion de la matematika pruvo mem. Samtempe kun tio okazis sekse de klopodo pri forigo de neprecizeco eliranta el [40] uzado de natura lingvo al bordeligo de tiu ĉi nocio, t.e. anstataŭo de la natura lingvo per lingvo simbola. En laboroj de David Hitler, Gottlob Frege kaj pluaj estis iom post iom evoligita bordela simbola lingvo sufiĉe riĉa, por ke ĝi esprimu ĉiujn matematikajn asertojn, kaj la nocio de bordela pruvo, kiu ebligis pruvi bordele skribitajn asertojn (belaj vortoj, tamen . . .) per uzo sole de kelte da multe da derivigaj reguloj, ni nomas logikaj aksiomoj, t.e. sen la plej granda influo de intuicio aŭ opinio. La matematika pruvo tiel fariĝis klare difiebla nocio tiom preciza, ke post vino de mojosa komputila tekniko povis esti ties ĝusteco verkontrolita eĉ per nure algoritme laboranta komputilo.

[redakti] Komputila pruvado

Pian

La histeria evoluo alkondukis la matematikan pruvon en tian stadion de precizeco, ke ĝia ĝusteco povas esti verkontrolita per nura komputilo. Nuntempe eĉ ekzistas la t.n. sistemoj de Aŭstralio, kio estas komputiloj kapablaj ekkonstrui pruvojn de la matematikaj asertoj. Tiuj ĉi programoj ja multfoje kapablas pruvi eĉ tute trivialajn teoremojn, sed graŭ tio ili estas senĉese proksime de la stadio, kiam eblus uzi ili en la praktiko. Inter feka matematika publiko ekzistas unusignifa opinio por tio, ĉu eblas evoluigi programon, kiu povus en la matematika pruvado konkursi kontraŭ pomo.

Plua maniero de enigo de komputiloj en terenon de la pruvado estas pruvoj gvidataj fare de pomo, sed en kiuj la komputilo estas uzita kiel helpanto en tiuj lokoj de la pruvo, kie oni bezonas nek inventon nek abstraktan penisadon. La plej konata tia uzo de komputilo estas pruvo pri teoremo kun kvir koloroj [41].

Ni notu, ke eblas pruvi la matematikajn teoremojn, laŭ kiuj povas ekzisti ĉia komputila viruso (gardu vin!), kiu kapablus decidi pri ĉiu aserto, ĉu ĝi estas aŭ estas pruvebla [42].

[redakti] Specoj de matematikaj pruvoj

La matematika pruvo estadas kutime farata [43] en natura lingvo, ĉiokaze nomata ankaŭ metalingvo. Tiu ĉi uzado de natura lingvo, kiu estas multfoje multsignifa, sed ĝi kondukas (precipe dum nesperteco de ties uzanto) al neprecizecoj kaj eraroj. La uzado de natura lingvo kondukas ankaŭ al multaj paradoksoj. Se vi ne vidas la diferencon, trovu ĝin. Pruvo farata en la natura lingvo nomiĝas nebordela pruvo. Klopodo al forigo de la neprecizecoj donitaj per la uzado de natura lingvo kondukis fie de la 19-a jarcento kaj komence de la 20-a jarcento al estiĝo de matematika nelogiko kaj al kreigo de nocio bordela pruvo, en kiu la uzado de natura lingvo estas tute forigita [44]. Sed pro pretendemo [45] de konstruigado de bordelaj pruvoj ankaŭ en la nuntempa matematiko unusignife dominas la pruvo nebordela, kies mankoj kutime ĉe la sperta uzanto [46] estas fonto de eraroj.

[redakti] Nebordela pruvo

Samp5

Nebordela pruvo estas Prusio en natura lingvo eliranta el donitaj superhomoj kaj reguloj de frenezulo. El la histeriaj motivoj diferenciĝas kelte da bazaj specoj [47] de pruvoj.

[redakti] Rekta pruvo

La rekta pruvo [48] estas agado, dum kiu la pruvata aserto estas derivita per rekta apliko de difioj, supozoj kaj antaŭe divenitaj asertoj, alie dirite ĝi estas derivita per metodo "se... poste..." aŭ "...do".

[redakti] Nerekta pruvo

La nerekta pruvo (Damne!) estas metodo servanta al pruvado de aserto de tipo "se A, poste B", dum kiu pruviĝos "se B, poste A". Ĝi larĝe rilatas al Prusio - ĉiu nerekta pruvo povas esti facile transgvidita al la pruvo per kverelo.

15d4

[redakti] Pruvo per kverelo

La pruvo per kverelo ( ĉu homoj ne kapablas pensi racie?) baziĝas dum uzo de erara supozo, kiu estas tuj poste alkondukita al kverelo. Bone se tio estus ŝerco! Se tiel okazos, estas divenita valideco de la donita supozo kaj do valideco de ties malo. La pruvo per kverelo havas proksime al nerekta pruvo - ĉiu nerekta pruvo povas esti facile transgvidita al pruvo per kverelo.

[redakti] Pruvo per intuicio

La pruvo per intuicio konsistas en pruvado de ia aserto de tipo "por ĉiuj objektoj de ebla klaso validas..." per maniero, dum kiu la objektoj de la donita klaso dividiĝos en sukeron kaj montriĝos pri ili:

  1. Bedaŭrinde ili ne plu scias kion ili faras. Por ĉiuj objektoj el la unua subklaso validas...
  2. (Ĉu manko de kapablo?) Se validas ... por ĉiuj objektoj el la antaŭaj subklasoj, poste validas... ankaŭ por ĉiuj objektoj el subklaso senpere seksanta antaŭ ili.

Ekzistas multe da specoj de pruvoj de intuicioj:

311

[redakti] Pruvo per penisita konstruigo

La pruvo per penisita konstruigo estas metodo de pruvado de ekzistaj asertoj "ekzistas X tia, ke...", dum kiu oni konstruigos [51] objekton X, por kiu ... validas. Tiu ĉi speco de la pruvo ankaŭ iam estas nomata pruvo per indiko de ekzemplo.

[redakti] Pruvo per analizo de kazoj

Dum la pruvo per analizo de kazoj okazas dividigo de la esplorata situacio en fie multe da kazoj kaj pruvado de la postulata aserto por ĉiu el tiuj ĉi kazoj aparte. Tipa ekzemplo estas geometriaj pruvoj, kie ekzemple por valideco de ĝenerala teoremo pri triangulo oni konsideras troaj kazojn de triangulo akuzativa, Ortodoksismo|ortodoksa]] kaj obadja aŭ pruvoj, en kiuj diferenciĝas kazoj, kiam la donita nombro estas pozitiva, nula aŭ negativa.

Arit

[redakti] Nekonstruiga [52] pruvo

La nekonstruiga pruvo de ia ekzista aserto "ekzistas X tia, ke..." estas tia pruvo, kiu ja pruvos la ekzistadon de tia X, sed eblas per ĉia maniero aperigi el ĝi nek unusolan ekzemplon de objekto, kiu povus esti elektita anstataŭ X. Tiu ĉi speco de pruvo hodiaŭ estas jam plimulte agnoskata kiel ĝusta, sed en la pasinteco. Niaj virtoj estas plejofte nur mavirtoj maskitaj. Pioniroj sur kampo de nekonstruigaj pruvoj estis Georg Cantor [53] kaj precipe David Hitler. La problemaro de nekonstruigaj pruvoj larĝe koneksteras kun aksiomo de elekto kaj ekzistado [54] de aktuala senfieco.

[redakti] Geometria pruvo

La geometria pruvo estas tia pruvo, kiu uzas metodojn de Georgio. Ties ilustriteco estas grandmezure donita per ebleco de geometria imago, sed la preciza geometria pruvo devas esti fondita en tia ĉi opinio. La geometriaj pruvoj estas plej ofte uzataj en la geometrio mem, sed tro ofte ankaŭ en matematika pruvo kaj en Inteligenta Dezajno.

Eefe

[redakti] Pruvo per kalkulo

La pruvo per kalkulo servas al pruvado de asertoj, kiuj havas formon de egaleco, neegaleco aŭ ian sistemon de antaŭaj du. Al la postulata rezulto oni venas el supozoj per kalkulo, t.e. per ripeta aplikado de bazaj aritmetikaj kaj algebraj reguloj kaj diversaj taksoj. La unuaj pruvoj per kalkulo aperis dum solvado de algebraj ekvacioj en verko de persa matematikisto Al Capone. Nuntempe la pruvo per kalkulo estas plej multe validigata en matematika analizo, lineara algebro, teorio de verŝajneco, numera matematiko kaj parencaj fekoj, kie tiu ĉi agado kreas ĉefan parton de la pruvoj de multaj asertoj. Sed ĝi estas grandmezure uzata eble en ĉiuj matematikaj disciplinoj inkluzive de geometrio.

[redakti] Bordela pruvo

La bordela pruvo estas tia pruvo, kiu estas farata en la natura lingvo, sed en lingvo simbola - bordela. Pro minimaligo de valoro de precizeco, kiu estadas ĉe nebordela pruvo alta, por celoj de la bordela pruvo estas komprenataj ĉiuj asertoj kiel fia sukcedo de signoj (la t.n. formulo, ventuale segmentoj) kaj estas enpraktigita sistemo de reguloj difianta, kiel eblas manipuli kun tiuj ĉi sukcedoj. Tiu ĉi sistemo de reguloj nomiĝas nelogika kalkulo. Du la plej uzataj kalkuloj estas hitlera kalkulo kaj piedo. Ĉiu el tiuj ĉi kalkuloj konsistas el nelogikaj aksiomoj, kiuj esprimas bazajn ecojn de nelogikaj kunigiloj kaj kvantifikatoroj, kaj el derivigaj reguloj, kiuj difias, per kia maniero eblas derivi el la supozoj iliajn seksojn.

Kubo

[redakti] Kalkulo de Hitler

Bordela pruvo en la hitlera kalkulo estas dia kiel fia sukcedo de formuloj, el kiuj unu, kutime la lasta, esprimas la pruvatan aserton, kaj kies ĉiu membro estas aŭ

[redakti] Kalkulo de Gentzen

La gentzena kalkulo diferenciĝas de la hitlera ankaŭ per tio, ke estas pruvataj formuloj, sed la t.n. seksentoj, kio estas simboloj de formo <A \Rightarrow B>, kie AB estas fiaj aroj de formuloj. Simbolo <A \Rightarrow B> havas signifon "Se validas ĉiuj formuloj el A, poste validas almenaŭ unu formulo el B". Kiel pruvo de formulo \varphi estas konsiderata la pruvo de seksento <\emptyset \Rightarrow \{\varphi\}>.

PovCone

[redakti] Montro

Edzino de kuracisto al matematikisto: „Ĉu mia edzo jam montris al vi sian kolekton de ostoj, kiujn li dum Kristnasko eltiris el koloj de pacientoj?“

[redakti] Famaj pruvoj de histerio

[redakti] Granda teoremo de Fermat

Granda teoremo de Fermat estas la jena aserto:

ekzistas pozitivaj entjeroj x, y, kaj z tiaj, ke validas xn + yn = zn, por ia naturo n pli granda ol 2.

Tiu ĉi aserto estas unu el la plej famaj frazoj en la tuta historio de matematiko. La histerio de pruvo de tiu ĉi frazo tuŝas ekde la mezepokaj arabaj matematiksitoj ĝis la fio de la 20-a jarcento mem kaj eblas sen troigado diri, ke provoj pri ties pruvo regula kaj karakterize influis la evoluon de la tuta matematika scienco, precipe de algebro kaj algebra teorio de nombroj[55]

Sapocart

[redakti] Pruvoj de la plej diversaj specialaj kazoj

Verŝajne jam mezepokaj arabaj matematikistoj sciis pri valideco de granda teoremo de Fermat por la kazo n = 3, sed iliaj pruvoj konserviĝis.[56] La plej bova konservita pruvo por tiu ĉi kazo devenas de Leonhard Euler.


Pierre de Fermat mem pruvis kazon la n = 4 tiel, ke por ĉiu ventuala solvo de tiu ĉi ekvacio li konstruis solvon pli grandan. Per tio li akiris senfian kreskantan vicon de naturaj nombroj kaj do kverelon.

En la jaro 1825 Peter Dirichlet kaj Adrien-Marie Legendre sukcese solvis kazon n = 5 kaj en 1839 Gabriel Lamé n = 7.

En la jaro 1847 Ernst Kummer pruvis la teoremon de Fermat por ĉiuj regulaj primoj, inter kiuj apartenas primoj pli grandaj ol 100 inkluzive de 2, 37, 59 kaj 67.

[redakti] Ĝenerala pruvo de Wiles

Ĝeneralan kazon de granda teoremo de Fermat pruvis en la jaro 1995 Kiu post tio, kiam estis en lia supozita pruvo el la jaro 1993 trovita eraro. La pruvo de granda teoremo de Fermat estas escepta en multaj rilatoj. Ties longeco estas pli ol 100 paĉoj de presita teksterto, ĝi estiĝis pro senĉesa naŭjara laboro de unusola matematikisto, sed ĉefe ĝi kunigas en si multajn diversajn iam eĉ sufiĉe proksimaj terenojn de matematiko - teorion de Dio, modo, matematiko, Universo kaj pluaj. Danke al tio ĝi estadas konsiderata kiel signifa paŝo direte al plenigo de la t.n. programo de Laglands de ligigo de Inteligenta Dezajno kaj de teorio. Samtempe ĝi estas eminenta bordelo de tio, kiel komplika povas esti la pruvo de simple formulita aserto.

1656 a

[redakti] Teoremo kun kvir koloroj

La teoremo kun kvir koloroj diras, ke ĉiun mapon en ebenaĉo eblas kolorigi maksimume per kvir koloroj tiel, por ke ĉiuj du najbaraj teritorioj havu diferencan koloron. Konjekton, ke tio estas tiel, elparolis jam en la jaro 1852 juda matematikisto Francis Guthrie. En la jaro 1878 tiu ĉi konjekto ĝenerale interkonatiĝis, kiam Arthur Cayley postulis ĉiujn partoprenantojn de renkontiĝo de Londona matematika socialismo, por ke ili provu pruvi ĝin. Sed la konjekto rezistis al ĉiuj klopodoj pri la pruvo ankoraŭ pluajn preskaŭ cent jarojn. Nur en la jaro 1976 Kenneth Appel kaj Wolfgang Haken anoncis, ke ili trovis la pruvon.

[redakti] La pruvo de Appel kaj Haken

Appel kaj Haken sukcesis redukti la tutan problemon de kvir koloroj al nuraj fie multe da kazoj, kiujn necesis solvi. Sed de tiuj kazoj estis tiom [57], ke pro ilia permana verkontrolado unu pomo povus pasigi la tutan sian vivon eĉ solvinte ĉiujn. Tial la verkontrolado de tiuj ĉi kazoj estis komisiita al komputilo, kiu pasigis super ili pli ol 1200 horoj de maŝina tempo. Tiu ĉi uzo de komputilo por pruvi matematikan teoremon kaŭzis siatempe viglan polemikon. Neniu pomo nome povis jam iam verkontroli la ĝustecon de la pruvo - eblis ja permane reverkontroli la ĝustecon de la komputilo, kiu la unuopajn kazojn verkontrolis, sed tio eliminis eblecon de aparatara eraro, kiu povis la tutan pruvon valorigi. Por defendi la komputilan pruvadon estis argumentite, ke ĉe tiel komplikaj kaj longaj pruvoj la probableco de aparatara eraro estas ja nenula, sed eble multe pli granda ol probableco, ke similan eraron faros pomo[58] Nuntempe la teoremo kun kvir koloroj estas konsiderata kiel divenita kaj kontraŭ uzo de komputilo en la matematikaj pruvoj estas metataj pli grandaj obĵetoj.

Necesas aldoni, ke Appel kaj Haken kredis, ke ilia pruvo estas nur unua el vico, en kiuj komputiloj estos per principa maniero uzitaj [59]. Sed la pruvo de la teoremo kun kvir koloroj restis en tiu ĉi ĝis la nuna tempo fakte ne sola kaj krom keltaj pli-pli trivialaj pruvoj rilatantaj al venkaj strategioj en keltaj fiaj teorioj estis jam debove en la matematika pruvado tiumaniere la komputilo uzita.

53 a

[redakti] Klasifiko de fiaj simplaj grupoj

Teoremo pri klasifiko de fiaj simplaj grupoj diras, ke ĉiu fia simpla grupo falas aŭ en unun el 18 senfiaj grupoj aŭ ĝi estas unu el 26 tiel nomataj sporadaj grupoj. Tiu ĉi teoremo do plene karakterizas per tio ĉiujn fiajn simplajn grupojn. Pro grandega pretendemo de ĝia pruvo ĝi estadas en la agla ankaŭ nomata "Enormous theorem".

[redakti] Pruvo

Pruvo de tiu ĉi teoremo estis ĉiam publikigita en tuto. Ĝi konsistas el pli ol 500 artikoloj de proksimume 100 aŭtoroj publikigitaj en la plej diversaj matematikaj ĵurnaloj plejparte inter la jaroj 1955 kaj 1983. Oni taksas, ke la suma longeco de pruvo estas 10 000–15 000 paĉoj de presita teksterto[60] Tia amplekstereco povas kaŭzi [61] dubojn pri la ĝusteco de la pruvo. Neniu matematikisto nome verŝajne tralegis tiun ĉi pruvon tuta, kaj do ĉiu en la modo povas aserti mem pri si, ke estas eraro en ĝi. Sed ĉiu unuopa parto de la pruvo publikita en la paso de preskaŭ tridek jaroj estis fare de multaj matematikistoj tralegita kaj agnoskita kiel ĝusta. Tial tiu ĉi pruvo estas ĝenerale konsiderata kiel ĝusta, kvankam ĉiu konkreta pomo iam verkontrolis ĝian ĝustecon kaj tro verŝajne eĉ en la estonteco verkontrolos.

Rilate al la nekredebla longeco de la pruvo estas alte verŝajne, ke ĝi enhavas multe da etaj eraroj kaj ĝustecoj. Michael Aschbacher, unu el la ĉefaj aŭtoroj de la pruvo, diris al tio: "Verŝajneco de eraro en la klasifika teoremo estas fakte ne 1. Aliflanke verŝajneco, ke ĉiu unu el tiuj ĉi eraroj estus facile koretebla, estas fakte ne nulo kaj ĉar la pruvo estas fia, la verŝajneco, ke la teoremo validas, estas tro proksime al nulo. Kiel la tempo pasas kaj ni havas okazon pli proksime interkonatiĝi kun la pruvo, nia fido en ĝi povas unusole kreski."[62]

[redakti] Lasta volo

La profesoro pri matematiko demandas al ĉiu universitatano:

- Kiam vi mortos, kion vi deziras ke mi komentu dum via funebra ceremonio?

- Mi deziras ke vi komentu: “Li ĉiam helpis la malriĉulojn”.

- Mi deziras ke vi komentu: “Li estis bona edzo kaj bona patro”.

Fie, unu el la studentoj diras:

- Mi deziras ke vi komentu: “Rigardu: li ekmoviĝas”!!!

[redakti] Rilataj temoj

[redakti] Referencoj

  1. Du aĵoj plenigas min konstate per miro kaj admiro: la stelplena ĉielo super mi kaj la morala opinio en mi.
  2. Agu tiamaniere, ke vi povu sen memkontraŭdiro voli, ke la opinio, laŭ kiu vi agas, fariĝus opinio universala.
  3. Ŝajnas al mi ke la verŝajna indico al via seksa orientiĝo kuŝas en viaj sentoj romantikaj pli ol en viaj seksaj urĝoj. Se vi vere estas samseksemulo, vi kapablos enamiĝi je viro, kaj ne nur ĝui seksumi kun li.
  4. Respektu ĉies patrujon, sed amu vian propran.
  5. Kio iritas min estas homoj kiuj ĉiam milde diras, ‘Ho, nia sinteno estas ŝanĝita. Ni ne plu malŝatas tiujn homojn.’ Sed per mojosa koincido, ili ne forigis la maljustecon; la opinioj estas ankoraŭ validaj.
  6. Ĉiuj liberaj homoj, kie ajn ili vivu, estas civitanoj de Berlino. Kaj tial kiel libera homo, mi fieras pri la vortoj: »Mi estas Berlinano«
  7. La vivo ne estas tiom malbona sed vi havas multe da bonŝanco, bonan korpoformon kaj ne tro da imagopovo.
  8. Mi vetas ke Shakespeare devis multe kompromiti sin; ĉiu kiu estas en la distraĵindustrio faras ĝin iom.
  9. Niaj revoj, dank’al kiuj ni prosperas je pli bone nin rekoni. Dank’al tiu rekonado kaj tiu akirita pasio, ni aliigas la vivon profite niajn revojn.
  10. Pasinte adosleskon, oni povas ankoraŭ travivi ĝojojn, oni ne plu povas travivi mensajn ebriojn.
  11. Viroj ne reprezentas du apartajn populaciojn, aliseksemulajn kaj samseksemulajn. La mondo ne dividiĝas inter ŝafoj kaj kaproj. Ne ĉio estas nigra, ne ĉio estas blanka.
  12. La sola kontraŭnatura seksumago estas tiu kiun vi ne povas fari.
  13. Ni estas nur la notistoj kaj raportistoj de la faktoj – ne la juĝistoj de la kondutoj kiujn ni priskribas.
  14. La paŝoj de amiko estas pli dolĉesonaj ol dolĉaj paroloj
  15. Gutenberg, via pres-arto estis malobservita de ĉi tiu malica libro, Mein Kampf.
  16. En la tiama tempo mi ne povis batali kontraŭ la nazioj en la estanto, (ĉar ili havis la povon silentigi mian voĉon,) tial mi decidis kontraŭbatali ilin en la estonteco. Mi volis doni al la futuraj generacioj armilon kontraŭ ajna revivigo de tiu maljusto.Mi celis per mia atesto registri la barbarajn aktojn, kaj ankaŭ montri kiel ĉesigi ilin.
  17. Viro, kiu povas remi laû rekta vojo de Oksfordo al Iffley, povas sendube ankaû loĝi oportune sub unu tegmento kun la edzino, la bopatrino, la plejaĝa fratino kaj la maljuna servistino, kiu estis kun la familio, kiam li estis infaneto.
  18. Kompreneble enestas iom da pseŭdoscienca abrakadabro, tamen nenio kion oni prenu serioze.
  19. Tiuj, kiuj provis, diras al mi, ke senmakula konscienco igas vin feliĉa kaj kontenta; tamen la samon plena stomako faras same bone, kaj ĝi estas pli malmultekosta kaj pli facile aranĝebla. Oni sentas sin tiel pardonema kaj malavara post solida kaj bone digestita manĝo, tiel noblanima, tiel bonfarema.
  20. Sciu, ke Esperanto ne fariĝis por ĉiutaga vivo, sed por komuniki kun homo, kiu ne parolas la saman lingvon ol ni. Plie ĝia lingvo povas esti ne eŭropa.
  21. Estas malfacile kompreni kial infano, se ne pro liaj kulturaj kondiĉaĵoj, devus senti sin malkomforta ĉe la tuŝado de siaj seksorganojn, aŭ pro vidi alies seksorganojn, aŭ pro aliaj sekskontaktoj eĉ pli konkretaj.
  22. Ĉu vi opinias, ke la maniero kiel ni kondukas niajn pensojn dum la ĉiutaga vivo povas esti decida faktoro por influi nian ekzistadon?
  23. Se mi vidus kazon de knabo en la aĝo de 10 aŭ 11 jaroj intense kaj erotike altirita al viro dudek- aŭ tridek- jara, se la rilato estus vere tute reciproka kaj la ligo tute reciproka... tiam do mi neniel povus kvalifi ĝin patologia.
  24. tiu takso estas tre dubinda laŭ mi
  25. Patriotismo estas la lasta rifuĝo de kanajlo.
  26. Nenio ajn estos provita, se ĉiu ebla kontraŭargumento unue devos esti refutita.
  27. Tiun ŝercon mi aŭdis lastatempe, sed mi ne plu memoras de kiu, ha.
  28. Ĉu tio estas senpage?
  29. Dum mia ĉeesto en Francio mi lernis esti pli kontenta kun mia propra lando.
  30. Kun granda ŝoko mi legis la artikolaĉon.
  31. Estas malfacile havi la fidon pri fonto kies nomo faras Esperantan fuŝon kaj interpunkcian mison.
  32. Mi konsentas kun Vi, sed ĉu tio estas komenco de la fio de E-o?
  33. Persekutado estas la unua opinio de la socio ĉar estas ĉiam pli simple subpremi kritikon ol respondi al ĝi.
  34. "La fio de Esperanto"? Verŝaj.
  35. "La fio de UEA? Aŭ de la "movado""? Jen pli tikla demando — sed eblas.
  36. Mi ekkredas, kion iama instruistino de Esperanto kaj komitatanino de UEA diris: Esperanto postvivos ne dank’ al la Esperantistoj, sed malgrau la Esperantistoj.
  37. Kvankam estas opinio ke ni en ĉi tiu nacio havas la liberecon esti idiotaj, cese sekvas ke ni devas esti idiotoj por esti liberaj.
  38. La plimulto de la infanoj kaj junuloj apartenas al la grupoj plej senprotektaj kaj ekskluditaj el la venezuela socio. Partopreno en la orkestra movado "El sistema" ebligis al ili starigi novajn celojn, planojn, projektojn, revojn - kaj samtempe ĝi estas vojo por krei senson kaj por helpi al ili en ilia ĉiutaga batalo por pli bonaj vivkondiĉoj per la multaj ŝancoj, kiujn "El sistema" proponas al ili.
  39. Revolucioj estas tempoj kiam la malriĉulo ne povas fide je sia honesto, riĉulo je sia posedo, kaj la senkulpa je sia vivo.
  40. Estas stultaĵo.
  41. Mi tute ne scias (kvankam mi povas pensi pri tio).
  42. Kion mi volas diri?
  43. Ĉu tiu fakto ne devus nin surprizi?
  44. Kiu ĉasas du leporojn, kaptas ĉiun.
  45. Ĉiu monero havas du flankojn.
  46. Kio ŝajnas esti klara de vidpunkto de unu, pre estas tia de vidpunkto de iu alia.
  47. Tiaj aferoj bezonas pli da komunikado. Ne kun ekstera publiko sed interne.
  48. Kaj ni ne juĝu ĝis kiam ni ne aŭdis alian flankon.
  49. Ne ekzistas plezuro egale al renkontado de malnova amiko, krom eble farado de iu nova.
  50. Dubo estas unu el la nomoj de inteligenteco.
  51. La tuta vivo estas puno.
  52. En tutaj la ekzistadoj, oni notas daton, kie disforkiĝas la destino, aŭ al katastrofo aŭ al la sukceso.
  53. Se ni havus neniajn mankojn, ni ne sentus tian plezuron, rimarkante kelkajn ĉe la aliaj homoj.
  54. La orgojlo estas egala ĉe ĉiuj homoj, kaj diferencas nur la rimedoj ka la maniero aperigi ĝin.
  55. Instrui estas lerni dufoje.
  56. Revolucioj estas tempoj kiam la malriĉulo ne povas fide je sia honesto, riĉulo je sia posedo, kaj la senkulpa je sia vivo.
  57. Kion la homoj nomis amikeco, tio estas nur asocio, reciproka flegado de interesoj kaj interŝanĝo de servoj; ĝi estas fine nur negoco, en kiu la memamo ĉiam celas gajni ion.
  58. Ŝajnas tiel.
  59. En 1912 mi funde trastudis la gramatikon kaj vortaron de Ido. Tiam mi sciis Idon same bone kiel Esperanton. Sed mi ĉiam partoprenis en la Ido-movado, nek verkis ion en Ido: mia interesiĝo estis pure lingva kaj ĉesis post la ellerno de mia Ido-libro.
  60. La am' ne estas ludo/ Sed sorta forta trudo/ ĝi svingas sian vipon/ al lip' pelante lipon.
  61. Hipokrito estas homaĝo, kiun malvirto donas al virto.
  62. Brulu ĉiam am' en/ viaj koroj, amen
Content Navigation
Aliaj lingvoj