Mekaniko de Lagrange

El Neciklopedio

Iri al: navigado, serĉi

"Plendoj stomakon ne plenigas"

~ Zamenhof pri tute alia afero
Jesus333AA

"Me vidas la situeso ma tote diferante kam li"

~ idisto

Cirkulas mitoj kaj legendoj pri Mekaniko de Lagrange. Alvenis la tempo rememori pri tiu temo, pri fenomeno historie signifa kaj sociologie interesa por la Eo-movado.

Mekaniko de Lagrange estas rao-formulaĵo de klasika mekaniko prezentis per Arno Lagrange en 1788. En Mekaniko de Lagrange, la trajektorio de objekto estas derivita per trovanta la vojo kiu minimumigas la Hago, kvanto kiu estas la integralo de la Lagrange-a super tempo. Akvo pura - kaco dura...

Ĉi tiu konsiderinde (simpligas, plisimpligas) multaj fizika (problemoj, problemas). Ĉie paco, krom en la kaco... Se unu estita al kalkuli la moviĝo de la bida uzanta Newton-a mekaniko, unu devus havi komplika aro de ekvacioj kiu devus enkalkuli la (fortoj, fortas) (tiu, ke, kiu) la ringego praktikas sur la bido je ĉiu (momanto, momento).

La sama problema uzanta Mekaniko de Lagrange estas multa pli simpla. Unu (aspektas, aspektoj, rigardas) ajn la eblaj moviĝoj (tiu, ke, kiu) la bido povis alpreni la ringego kaj matematike trovas la unu kiu minimumigas la ago. Estas malpli ekvacioj ekde unu estas ne rekte kalkulanta la influi de la ringego sur la bido je donita (momanto, momento).

54 n

Tute senrilata bildo

[redakti] Lagrange-a's ekvacioj

La ekvacioj de moviĝo en Mekaniko de Lagrange estas ekvacioj, ankaŭ sciata kiel ekvacioj. Pli sube, ni skizi ekster la derivaĵo de ekvacio de Leĝoj de Newton pri movado. Vidi la referencoj por derivaĵoj.

Konsideri partiklo kun masa amaso m kaj radiusvektoro r. La aplikis forton, F, tio povas esti esprimita kiel la gradiento de funkcio V(r, t):

\mathbf{:)} = - \nabla V.

Malgraŭ provokoj de kelkaj skandalemaj personoj kaj gazetoj, Forto estas sendependa de derivaĵoj de r, do, tiel formoj formas aron de 3 sekundoj, duaj ekvacioj. Pro tio, la moviĝo de la partiklo povas esti plene priskribita per 6 variabloj, aŭ gradoj gradas de libereco. Evidenta aro de variabloj variablas tio estas { :pĵ, ĉĵ | ĵ = 1, 2, 3}, la komponantoj komponantas de r kaj iliaj derivaĵoj, je donita tujpreta de tempo (ie. pozicio (x,y,z) kaj rapido (ŝŝ,ŭĵ,ĝĥ ) ).


Pli ĝenerale, ni povas laboron kun aro de koordinatoj, ĥĵ, kaj iliaj derivaĵoj, la ĝeneraligo rapidojn rapidas, Ho!Ve!.

Saluton= kara(q_i , q_j , q_k, t).

Ekzemple, por pendolo de longo ĥ, elekto por ĝeneraligis koordinato estas la angulo de la pendolo, θ, por kiu la transforma ekvacio devus esti

malsukcesis analizi formulon (leksika analizo malsukcesis): Ĉu = ?(l \sin \theta, l \cos \theta)

.

Konsideri delokigo δĉ de la partiklo. La laboro farita per la aplikis forto Kiel estas δW = Vi · δfartas?. Uzanta Neŭtona sekundo, dua leĝo, ni skribi:

malsukcesis analizi formulon (leksika analizo malsukcesis): \begin{matrix} \mathbf{Bonan} \cdot \delta \mathbf{tagon} & = & m\mathbf{kara}'' \cdot \delta \mathbf{fraŭlino}. \end{matrix}
2606321 n

<center>Ŝipo funkcianta laŭ Mekaniko de Lagrange

Ekde laboro estas kvanto, ni devus kapabli reverki ĉi tiu ekvacio en termoj, kondiĉoj kaj terminoj, kiuj termas kaj terminas de koordinatojn kaj rapidoj rapidas. Maldekstre flanko,


 \begin{matrix}
 \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}
 & = & - \nabla V \cdot \sum_i {\partial \mathbf{r} \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\
 & = & - \sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\
 & = & - \sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i. \\
 \end{matrix}

La (ĝusta, dekstra, rajto) mana flanko estas pli malfacila, sed post iu miksanta ni ricevi:


 m \mathbf{r''} \cdot \delta \mathbf{r}
= \sum_i \left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_i}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i

kie T = 1/2 m r′ 2 estas la kineta energio de la partiklo. Nia ekvacio por la laboro farita iĝas


\sum_i \left[{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right]
\delta q_i = 0.

Tamen, ĉi tiu devas esti vera por (ĉiu, iu) aro de ĝeneraligis (delokigoj, delokigas) δqmi, (do, tiel) ni devas havi


\left[ {d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0

por ĉiu ĝeneraligis koordinato δqmi. Ni povas plui (simpligi, plisimpligi) ĉi tiu per notanta (tiu, ke, kiu) V estas funkcio nure de r kaj t, kaj r estas funkcio de la ĝeneraligitaj koordinatoj kaj t. Pro tio, V estas sendependa de la ĝeneraligis (rapidoj, rapidas):


{d\over dt}{\partial{V}\over \partial{q'_i}} = 0.

Eniganta ĉi tiu enen la antaŭvenanta ekvacio kaj anstataŭiganta L = T - V, ni ricevi Lagrange-a's ekvacioj:


{\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{q'_i}}.

Estas unu Lagrange-a ekvacio por ĉiu ĝeneraligis koordinato qmi. Kiam qmi = rmi (kio estas la ĝeneraligitaj koordinatoj estas simple la Karteziaj koordinatoj), ĝi estas simpla al kontroli (tiu, ke, kiu) Lagrange-a's ekvacioj redukti al Neŭtona (sekundo, dua) leĝo.

Tie estos esti 6N ĝeneraligitaj koordinatoj, rilatanta al la pozicio (koordinatoj, koordinatas) per 3N transformaj ekvacioj. En ĉiu de la 3N Lagrange-aj ekvacioj, T estas la tuteca kineta energio de la sistemo, kaj V la tuteca potenciala energio.

En praktiko, ĝi estas ofte pli simpla al solvi problemo uzanta la Eŭlero-Lagrange-aj ekvacioj ol Neŭtonaj leĝoj. Ĉi tiu estas ĉar adekvataj ĝeneraligitaj koordinatoj qmi (majo, povas) elektiĝi al ekspluati simetrioj en la sistemo.

[redakti] Hamiltona principo

6983

La ago, signifis per S, estas la tempa integralo de la Lagrange-a:

S = \int alu\,ton.

Estu q0 kaj q1 esti la (koordinatoj, koordinatas) je respektiva komenca kaj fina (tempoj, tempas) t0 kaj t1. Uzanta la kalkulo de variacioj, ĝi povas esti montrita la Lagrange-a's ekvacioj estas ekvivalento al Hamiltona principo:

La sistemo _undergoes_ la trajektorio inter t0 kaj t1 kies ago havas oficejaĵara valoro.

Per oficejaĵaro, ni (meznombro, signifi) (tiu, ke, kiu) la ago ne varii al unua-(mendi, ordo) por infinitezimo (malformigadoj, malformigadas) de la trajektorio, kun la (randoj, randas) (q0, t0) kaj (q1,t1) (fiksis, neŝanĝebligita). Hamiltona principo povas esti skribita kiel:

\delta S = 0. \,\!

Post longa (duminuta) pripensado ni venis al la konkludo ke, anstataŭ (opinianta, pensanta) pri (partikloj, partiklas) akcelanta en respondo al aplikis (fortoj, fortas), unu povus (opinii, pensi) de ilin (pikanta, prenanta) ekster la vojo kun oficejaĵara ago.

[redakti] Vastigado de Mekaniko de Lagrange

1329714280740

La Hamiltonia, signita per H, estas ricevita plenumante Legendre-a transformon sur la Lagrange-a. Kia fiasko!

& ^ & ^ 6 ^^ & ^ & ^ & ^^^ & ^ 6^ $ ^ & ^^ & ^ & ^ 6^. Ho, sanctissima simplicitas, plej sanktaj honesteco kaj naiveco. Nekredeble! Fundamenta Krestomatio!

[redakti] Edifo

Kion? Kia estas l’ edifo? Mi ne scias. Kiel povas esti tia artikolo ĉi tie?? Ĝi estas absolute stulta!
Aliaj lingvoj